Образец для цитирования:
Кузнецов С. П., Купцов П. В. Аттрактор Лоренца в системе с запаздыванием : пример псевдогиперболического хаоса // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Физика. 2018. Т. 18, вып. 3. С. 162-176. DOI: https://doi.org/10.18500/1817-3020-2018-18-3-162-176
Аттрактор Лоренца в системе с запаздыванием : пример псевдогиперболического хаоса
Вводится в рассмотрение пример системы, описываемой дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, в которой в бесконечномерном фазовом пространстве имеет место хаотический аттрактор, аналогичный по свойствам аттрактору Лоренца. Показано, что хаотическая динамика на аттракторе соответствует математической теории псевдогиперболической динамики Шильникова и Тураева, которая обеспечивает условия неразрушения хаоса при малых вариациях параметров и функций в динамических уравнениях. В статье рассмотрен и апробирован вычислительный инструментарий, необходимый для выявления и тестирования псевдогиперболической природы хаоса. Представлены иллюстрации хаотической динамики – реализации колебательных процессов, портреты аттракторов, результаты вычисления показателей Ляпунова. Выполнена проверка подразумеваемого определением псевдогиперболичности отсутствия касаний у подпространств векторов малых возмущений для траекторий на аттракторе («критерий углов»). Представлена схема электронного генератора, описываемого предложенными уравнениями, и проведено его моделирование в программной среде Multisim, в частности, представлены осциллограммы и спектры хаотических колебаний, генерируемых системой. Результаты исследования позволяют заключить, что концепция псевдогиперболичности заслуживает внимания в прикладном плане, в частности, для создания генераторов хаоса, характеризуемого свойством не разрушаться при наличии погрешностей изготовления и разного рода нестабильностей, для возможных приложений (генераторы шума, схемы скрытой коммуникации, шумовой радар, криптографические приложения). Представленный в статье материал может быть полезен также для подготовки студентов и аспирантов, специализирующихся в области радиофизики и нелинейной динамики, в том числе в лекционных курсах, лабораторных и компьютерных практикумах.
1. Дмитриев А. С., Ефремова Е. В., Максимов Н. А., Панас А. И. Генерация хаоса. М. : Техносфера, 2012. 424 с.
2. Аносов Д. В., Арансон С. Х., Гринес В. З., Плыкин Р. В., Сатаев Е. А., Сафонов А. В., Солодов В. В., Старков А. Н., Степин А. М., Шлячков С. В. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». M. : ВИНИТИ, 1991. Т. 66. 248 с.
3. Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны / ред. А. В. Гапонов-Грехов. М. : Наука, 1979. С. 192–212.
4. Shilnikov L. Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, № 9. P. 1953–2001. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127497001527
5. Аносов Д. В. Динамические системы в 60-е годы : гиперболическая революция // Математические события ХХ века. М. : Фазис, 2003. С. 1–18.
6. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора // Математический сборник. 1998. Т. 189, № 2. С. 137–160.
7. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // Докл. РАН. 2008. Т. 418, № 1. С. 23–27.
8. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Hénon maps // Physica D : Nonlinear Phenomena. 2016. Vol. 337. P. 43–57. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physd.2016.07.006
9. Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О., Козлов А. Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения : Обзор. Ч. 1. Псевдогиперболические аттракторы // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2017-25-2-4-36
10. Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Kazakov A. O., Kozlov A. D. Elements of contemporary mathematical theory of dynamical chaos. Part 1. Pseudohyperbolic attractors. 2012, arXiv preprint 1712.04032. P. 1–38.
11. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные аттракторы : сб. ст. / под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шильникова. М. : Мир, 1981. С. 88–116.
12. Sparrow C. The Lorenz equations : bifurcations, chaos, and strange attractors. Springer Science & Business Media, 2012. 270 p.
13. Кузнецов С. П. Динамический хаос. 2-е изд. М. : Физматлит, 2006. 356 с.
14. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1: Theory // Meccanica. 1980. Vol. 15, № 1. P. 9–20.
15. Shimada I., Nagashima T. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems // Progress of Theoretical Physics. 1979. Vol. 61, № 6. P. 1605–1616.
16. Pikovsky A., Politi A. Lyapunov exponents : a tool to explore complex dynamics. Cambridge University Press, 2016. 295 p.
17. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P. Lyapunov analysis of strange pseudohyperbolic attractors : angles between tangent subspaces, local volume expansion and contraction. 2018, arXiv preprint 1805.06644. P. 1–17.
18. Lai Y. C., Grebogi C., Yorke J. A., Kan I. How often are chaotic saddles nonhyperbolic? // Nonlinearity. 1993. Vol. 6, № 5. P. 779–797.
19. Anishchenko V. S., Kopeikin A. S., Kurths J., Vadivasova T. E., Strelkova G. I. Studying hyperbolicity in chaotic systems // Phys. Lett. A. 2000. Vol. 270. P. 301–307.
20. Кузнецов С. П., Круглов В. П. О некоторых простых примерах механических систем с гиперболическим хаосом // Труды МИАН. 2017. T. 297. С. 232–259. DOI: https://doi.org/10.1134/S0371968517020133
21. Kuptsov P. V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85, № 1. 015203. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.85.015203
22. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P. Numerical test for hyperbolicity of chaotic dynamics in time-delay systems // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94, № 1. P. 010201. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.94.010201
23. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 56. P. 227–239. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2017.08.016
24. Кузнецов С. П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы : от математики к физике // УФН. 2011. Т. 181, № 2. С. 121–149. DOI: https://doi.org/10.3367/UFNr.0181.201102a.0121
25. Kuznetsov S. P. Hyperbolic Chaos : A Physicist’s View. Berlin ; Heidelberg : Higher Education Press ; Beijing and Springer-Verlag, 2012. 336 p.
26. Cuomo K. M., Oppenheim A. V., Strogatz S. H. Synchronization of Lorenz-based chaotic circuits with applications to communications // IEEE Transactions on circuits and systems II : Analog and digital signal processing. 1993. Vol. 40, № 10. P. 626–633. DOI: https://doi.org/10.1109/82.246163
27. Blakely J. N., Eskridge M. B., Corron N. J. A simple Lorenz circuit and its radio frequency implementation // Chaos : An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2007. Vol. 17, № 2. P. 023112. DOI: https://doi.org/10.1063/1.2723641
28. Кузнецов С. П. Простые электронные генераторы хаоса и их схемотехническое моделирование // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2018. Т. 26, № 3. С. 35–61. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2018-26-3-35-61
29. Ораевский А. Н. Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 1. С. 130–142.
30. Глуховский А. Б. Нелинейные системы, являющиеся суперпозициями гиростатов // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266, № 4. С. 816–820.
31. Doroshin A. V. Modeling of chaotic motion of gyrostats in resistant environment on the base of dynamical systems with strange attractors // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2011. Vol. 16, № 8. P. 3188–3202. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2010.10.020
32. Kolář M., Gumbs G. Theory for the experimental observation of chaos in a rotating waterwheel // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45, № 2. P. 626–637. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.45.626
33. Кузнецов С. П. Аттрактор типа Лоренца в электронном параметрическом генераторе и его трансформация при нарушении точных условий параметрического резонанса // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, № 3. С. 68–87. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2016-24-3-68-87
34. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М. : Мир, 1967. 548 с.
35. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. М. : Наука, 1971. 296 с.
36. Farmer J. D. Chaotic attractors of an infi nite-dimensional dynamical system // Physica D: Nonlinear Pheno mena. 1982. Vol. 4, № 3. P. 366–393. DOI: https://doi.org/10.1016/0167-2789(82)90042-2
37. Yu P., Xu F. A common phenomenon in chaotic systems linked by time delay // Intern. Journal of Bifurcation and Chaos. 2006. Vol. 16, № 12. P. 3727–3736. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127406017129
38. Балякин А. А., Рыскин Н. М. Особенности расчета спектров показателей Ляпунова в распределенных автоколебательных системах с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, № 6. С. 3–21.
39. Yanchuk S., Giacomelli G. Spatio-temporal phenomena in complex systems with time delays // Journal of Physics A : Mathematical and Theoretical. 2017. Vol. 50, № 10. 103001. DOI: https://doi.org/10.1088/1751-8121/50/10/103001
40. Хернитер М. Е. Multisim : Современная система компьютерного моделирования и анализа схем электронных устройств. М : Издательский дом «ДМК-пресс», 2006. 501 с.
