Образец для цитирования:
Анищенко В. С., Астахов С. В., Боев Я. И., Бирюкова Н. И., Стрелкова Г. И. Статистика возвратов Пуанкаре с учётом воздействия флуктуаций // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Физика. 2013. Т. 13, вып. 2. С. 5-15. DOI: https://doi.org/10.18500/1817-3020-2013-13-2-5-15
Статистика возвратов Пуанкаре с учётом воздействия флуктуаций
Методами численного эксперимента получены основные статистические характеристики последовательности времён возвратов Пуанкаре на примере логистического отображения в режиме хаоса. Рассчитаны средние значения, дисперсия и плотность распределения времён возврата и их зависимость от величины области возвращения при локальном подходе. Получены значения размерности Афраймовича–Песина как в случае нулевой, так и положительной топологической энтропии аттрактора системы. Подтверждено соответствие размерности Афраймовича–Песина показателю Ляпунова (глобальный подход). Исследованы закономерности влияния шумового воздействия на статистику времён возврата как при локальном, так и глобальном подходах. Рассмотрены примеры использования теории возвратов Пуанкаре для диагностики эффекта стохастического резонанса, синхронизации хаоса и расчёта фрактальной размерности аттрактора.
1. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. : ОГИЗ, 1947.
2. Afraimovich V., Ugalde E., Urias J. Размерности для последовательности времен возвращений Пуанкаре. М. ; Ижевск : Изд-во РХД ; Ижевский ин-т комп. ис- следований, 2011.
3. Kac M. Lectures in Applied Mathematics. London : Interscience, 1957.
4. Ott E., Grebogi C., Yorke J. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64, iss. 11. P. 1196–1199.
5. Hirata M., Saussol B., Vaienti S. Statistics of Return Times : A General Framework and New Applications // Communications in Mathematical Physics. 1999. Vol. 206. P. 33.
6. Afraimovich V. Pesin’s dimension for Poincaré recurrences // Chaos. 1999. Vol. 206, iss. 1. P. 33–35.
7. Afraimovich V., Zaslavsky G. M. Fractal and multifractal properties of exit times and Poincarérecurrences // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. P. 5418.
8. Pesin Y. B. Dimension Theory in Dynamical Systems : Contemporary Viewsand Applications // Chicago Lectures in Mathematics. Chicago University Press, 1997.
9. Adler R. L., Konheim A. G., McAndrew M. H. Topological entropy // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 114. P. 309.
10. Afraimovich V. S., Lin W. W., Rulkov N. F. Fractal dimension for Poincaré recurrences as an indicator of synchronized chaotic regimes // Intern. J. Bifurcat. Chaos. 2000. Vol. 10, № 10. P. 2323–2337.
11. Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М. : Факториал, 1999.
12. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М. : Мир, 1988.
13. Анищенко В. С., Хайрулин М. Е. Влияние индуцированного шумом кризиса аттракторов на характеристики времен возврата Пуанкаре // Письма в ЖТФ. 2011. Т. 37, вып. 12. С. 35–43.
14. Anishchenko V., Khairulin M., Strelkova G., Kurths J. Statistical characteristics of the Poincare return times for an one-dimensional nonhyperbolic map // Eur. Phys. J. B. 2011. Vol. 82. P. 219–225.
15. Анищенко В. С., Астахов С. В., Боев Я. И., Куртс Ю. Возвраты Пуанкаре в системе с хаотическим нестранным аттрактором // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 29–41.
16. Saussol B., Troubetzkoy S., Vaienti S. Recurrence, Dimensions, and Lyapunov Exponents // J. Stat. Phys. 2002. Vol. 106, № 3–4. P. 623–634.
17. Astakhov S. V., Anishchenko V. S. Afraimovich–Pesin dimension for Poincaré recurrences in one- and twodimensional deterministic and noisy chaotic maps // Phys. Lett. A. 2012. Vol. 376, № 47–48. P. 3620–3624.
18. Anishchenko V. S., Astakhov S. Relative Kolmogorov Entropy of a Chaotic System in the Presence of Noise // Intern. J. Bifurcat. Chaos. 2008. Vol. 18, № 9. P. 2851–2855.
19. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance // J. Phys. A: Mathematical and General. 1981. Vol. 14, № 11. P. L453–L457.
20. Anishchenko V. S., Astakhov V. V., Neiman A. B., Vadivasova T. E., Schimansky-Geier L. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems // Tutorial and Modern Development. 2nd ed. Berlin ; Heidelberg : Springer, 2007.
21. Анищенко В. С., Нейман А. Б., Мосс Ф., Шиманский- Гайер Л. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН. 1999. Т. 169, № 1. С. 7–38.
22. Anishchenko V. S., Neiman A. B., Safonova M. A. Stochastic Resonance in chaotic systems // J. Stat. Phys. 1993. Vol. 70, № 1–2. P. 183–196.
23. Anishchenko V. S., Boev Y. I. Diagnostics of stochastic resonance using Poincaré recurrence time distribution // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2013. Vol. 18, iss. 4. P. 953–958.
24. Pecora L. M., Carroll T. L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. P. 821–824.
